جبر مجموعه‌ها: قوانین دمورگان

[The moon]

قوانین دمورگان بیان می‌کنند که چگونه می‌توان گزاره‌ها و مفاهیم ریاضی را با مکمل یا متضاد آن‌ها مرتبط کرد. در نظریه مجموعه‌ها، قوانین دمورگان، رابطه اجتماع و اشتراک مجموعه‌ها را با مکمل آن‌ها بیان می‌کنند. این قوانین در منطق گزاره‌ها، عطف و فصل منطقی گزاره‌ها را به نقیض آن‌ها مرتبط می‌سازند. قوانین دمورگان، در مدارهای منطقی برای سیستم‌های کامپیوتری نیز کاربرد دارند. علی‌رغم گستردگی کاربرد قوانین دمورگان در مجموعه‌ها، گزاره‌ها، مدارهای منطقی و…، ساختار آن ها در هریک از این کاربردها مشابه است. 

«قوانین دمورگان» (De Morgan’s Laws) رابطه بین مجموعه‌ها و مکمل‌شان را بیان می‌کنند. این قوانین را می‌توان به سادگی در قالب نمودارهای وِن (Venn Diagram) نشان داد. اجتماع مکمل دو مجموعه در شکل زیر نشان داده شده است. 

 

یکی دیگر از قوانین دمورگان بیان می‌کند مکمل اجتماع دو مجموعه A و B برابر با اشتراک مکمل آن ها است. 

 

قوانین دمورگان را می‌توان به هر تعدادی از مجموعه‌ها تعمیم داد. فرض کنید 
 

[ltr] {A1,A2,…,An−1,An}[/ltr]
 
 یکی مجموعه nتایی از مجموعه‌ها باشد. مکمل اشتراک این مجموعه‌ها برابر است با:
 

 

به‌طور مشابه می‌توان نوشت: 

 

در روابط بالا، نمادهای 


[ltr][/ltr]
 
 و 
 

[ltr] [/ltr]
 
 ، به‌ترتیب اشتراک و اجتماع مجموعه‌ها را نشان می‌دهند.  آگوستوس د مورگان یک ریاضیدان و دیدن لینک ها برای شما امکان پذیر نیست. لطفا ثبت نام کنید یا وارد حساب خود شوید تا بتوانید لینک ها را ببینید.
منطق دان  بریتانیایی بود. او دیدن لینک ها برای شما امکان پذیر نیست. لطفا ثبت نام کنید یا وارد حساب خود شوید تا بتوانید لینک ها را ببینید.
قوانین دمورگان  را فرموله کرده و اصطلاح دیدن لینک ها برای شما امکان پذیر نیست. لطفا ثبت نام کنید یا وارد حساب خود شوید تا بتوانید لینک ها را ببینید.
استقرای ریاضی  را معرفی کرد، که به وسیله آن، ایده اش را دقیق نمود. /فرادرس، عم‌نما، ویکی‌پدیا